Le LASER (acronyme de l'anglais Light Amplification by Stimulated Emission of Radiation) est depuis 50 ans, un outil indispensable utilisé dans de nombreux domaines (transfert d'information par fibre optique, métrologie, applications médicales, militaires, nucléaires ou artistiques...). Le contrôle de la valeur de la longueur d'onde de la radiation émise est indispensable, sa précision peut même atteindre $10^{-8}~\text{nm}$ dans certains cas !!
Le faisceau LASER éclaire une fente de largeur $a$ (voir le schéma figure 1). Sur un écran placé à la distance $D = 1{,}50~\text{m}$ de la fente, on observe une figure de diffraction constituée de taches lumineuses.
En modifiant la largeur $a$ de la fente, on mesure la largeur $\ell$ de la tache centrale observée. Les résultats expérimentaux permettent de tracer la courbe $\ell = f(1/a)$ donnée sur la figure 2 suivante.
1- A quelle condition le phénomène de diffraction est-il observé ?
Correction 1 :
Pour que le phénomène de diffraction d'une onde lumineuse soit nettement observé, il faut que la dimension de l'obstacle ou de la fente (ici sa largeur $a$) soit de l'ordre de grandeur de la longueur d'onde $\lambda$ de la lumière, c'est-à-dire :
$$ \boxed{ a \leq 100 \lambda } $$
2- En supposant l'angle $\theta$ petit, démontrer que $\ell = (2 \times D \times \lambda) \times \frac{1}{a}$. Pour les petits angles, $\tan(\theta) \approx \theta$ (en rad).
Correction 2 :
D'après la figure 1, dans le triangle rectangle formé par la fente, l'écran et la direction de la première extinction, on a :
$$ \tan(\theta) = \frac{\frac{\ell}{2}}{D} = \frac{\ell}{2D} $$
Puisque l'angle $\theta$ est très petit, on utilise l'approximation $\tan(\theta) \approx \theta$, ce qui donne :
$$ \theta = \frac{\ell}{2D} $$
D'autre part, on sait que l'écart angulaire du phénomène de diffraction est donné par la relation :
$$ \theta = \frac{\lambda}{a} $$
En égalisant les deux expressions, on obtient :
$$ \frac{\ell}{2D} = \frac{\lambda}{a} \implies \ell = \frac{2 \lambda D}{a} $$
Ce qui peut s'écrire sous la forme demandée :
$$ \boxed{ \ell = (2 \times D \times \lambda) \times \frac{1}{a} } $$
3- A partir de la courbe $\ell = f(1/a)$ donnée sur la figure ci-dessus, déterminer la valeur de la longueur d'onde $\lambda$ en m puis en nm.
Correction 3 :
La courbe $\ell = f(1/a)$ est une droite qui passe par l'origine. Son équation mathématique s'écrit :
$$ \ell = k \times \frac{1}{a} $$
où $k$ est le coefficient directeur (la pente) de la droite.
Calculons $k$ en utilisant les deux points fournis : $(2~\text{mm}^{-1} ; 4~\text{mm})$ et $(4~\text{mm}^{-1} ; 8~\text{mm})$.
$$ k = \frac{\Delta \ell}{\Delta (1/a)} = \frac{8 - 4}{4 - 2} = \frac{4}{2} = 2~\text{mm}^2 $$
On convertit $k$ en système international ($\text{m}^2$) :
$$ k = 2 \times 10^{-6}~\text{m}^2 $$
Par analogie avec la relation théorique démontrée à la question précédente ($\ell = (2 \cdot D \cdot \lambda) \times \frac{1}{a}$), on en déduit que :
$$ k = 2 \times D \times \lambda \implies \lambda = \frac{k}{2D} $$
Application numérique :
$$ \lambda = \frac{2 \cdot 10^{-6}}{2 \times 1{,}50} = \frac{2 \cdot 10^{-6}}{3} \approx 0{,}667 \cdot 10^{-6}~\text{m} $$
$$ \boxed{ \lambda \approx 6{,}67 \cdot 10^{-7}~\text{m} } $$
En convertissant en nanomètres ($1~\text{nm} = 10^{-9}~\text{m}$) :
$$ \boxed{ \lambda = 667~\text{nm} } $$
2- On remplace la fente par un prisme d'angle $A = 30^\circ$ en verre d'indice $n = 1{,}62$ pour une radiation lumineuse précédente de longueur d'onde $\lambda$. Le rayon incident arrive depuis l'air en $I$ et fait, après réfraction, un angle $r = 30^\circ$ avec la normale. (voir figure 3). Donnée : la célérité de la lumière dans l'air $c = 3 \cdot 10^8~\text{m/s}$.
2-1- Quelle est la célérité de la radiation lumineuse précédente dans le verre de prisme ?
Correction 2-1 :
La célérité $v$ de la radiation lumineuse dans un milieu matériel (le verre) est donnée par la relation :
$$ v = \frac{c}{n} $$
Application numérique :
$$ v = \frac{3 \cdot 10^8}{1{,}62} $$
$$ \boxed{ v \approx 1{,}85 \cdot 10^8~\text{m/s} } $$
2-2- Combien de temps cette radiation met-elle pour traverser $10~\text{cm}$ de ce verre ?
Correction 2-2 :
La durée $\Delta t$ de la traversée est liée à la distance $d$ et à la célérité $v$ dans le verre par la relation :
$$ \Delta t = \frac{d}{v} $$
Application numérique avec $d = 10~\text{cm} = 0{,}10~\text{m}$ :
$$ \Delta t = \frac{0{,}10}{1{,}85 \cdot 10^8} $$
$$ \boxed{ \Delta t \approx 5{,}4 \cdot 10^{-10}~\text{s} } $$
2-3- En déduire la valeur de l'angle d'incidence au point I.
Correction 2-3 :
On applique la deuxième loi de Descartes pour la réfraction au point d'incidence $I$ (surface air-verre) :
$$ n_{\text{air}} \cdot \sin(i) = n \cdot \sin(r) $$
On sait que l'indice de l'air est $n_{\text{air}} \approx 1$.
$$ \sin(i) = n \cdot \sin(r) $$
Application numérique :
$$ \sin(i) = 1{,}62 \times \sin(30^\circ) = 1{,}62 \times 0{,}5 = 0{,}81 $$
L'angle d'incidence $i$ est donc :
$$ i = \arcsin(0{,}81) $$
$$ \boxed{ i \approx 54{,}1^\circ } $$
2-4- Calculer $D$ l'angle de déviation de la radiation lumineuse par le prisme.
Correction 2-4 :
Pour calculer l'angle de déviation total $D$, on doit d'abord analyser ce qui se passe sur la deuxième face du prisme. Les relations du prisme sont :
$$ A = r + r' $$
$$ D = i + i' - A $$
On cherche l'angle d'incidence $r'$ sur la deuxième face :
$$ r' = A - r = 30^\circ - 30^\circ = 0^\circ $$
Puisque le rayon arrive avec un angle nul sur la deuxième face ($r' = 0^\circ$), on applique la loi de Descartes pour l'émergence :
$$ n \cdot \sin(r') = n_{\text{air}} \cdot \sin(i') \implies 1{,}62 \times \sin(0) = 1 \times \sin(i') \implies \sin(i') = 0 $$
L'angle d'émergence est donc $i' = 0^\circ$ (le rayon sort perpendiculairement à la surface).
On calcule maintenant l'angle de déviation $D$ :
$$ D = i + i' - A $$
$$ D = 54{,}1^\circ + 0^\circ - 30^\circ $$
$$ \boxed{ D = 24{,}1^\circ } $$
Exercice 2 : Les ondes (Niveau B)
1- Choisi la bonne réponse sans justifier.
1-1- La valeur approximative de la vitesse de propagation des ondes sonores dans l'air ($25^\circ\text{C}$) est :
A- $v = 3000~\text{m}\cdot\text{s}^{-1}$
B- $v = 1500~\text{m}\cdot\text{s}^{-1}$
C- $v = 340~\text{m}\cdot\text{s}^{-1}$
Correction 1-1 :
La bonne réponse est la C.
$$ \boxed{ \text{\textbf{C-} } v = 340~\text{m}\cdot\text{s}^{-1} } $$
1-2- Dans l'air ($25^\circ\text{C}$), les ondes sonores (audibles) et ultrasonores ont des vitesses de propagation :
A- Egales
B- Différentes
Correction 1-2 :
L'air est un milieu non dispersif pour les ondes sonores, la vitesse ne dépend pas de la fréquence. La bonne réponse est la A.
$$ \boxed{ \text{\textbf{A-} Egales} } $$
1-3- La relation entre vitesse $v$, durée $\Delta t$ et distance $d$ est :
A- $d = v \cdot \Delta t$
B- $v = \Delta t \cdot d$
C- $d = v \cdot \Delta t$
Correction 1-3 :
Les propositions A et C sont identiques et correctes. La bonne réponse est la A (ou C).
$$ \boxed{ \text{\textbf{A-} } d = v \cdot \Delta t } $$
1-4- La fréquence $\nu$ des ondes sonores audibles se situe à :
A- $\nu < 20~\text{Hz}$
B- $20~\text{Hz} < \nu < 20~\text{kHz}$
C- $\nu > 20~\text{kHz}$
Correction 1-4 :
La bonne réponse est la B.
$$ \boxed{ \text{\textbf{B-} } 20~\text{Hz} < \nu < 20~\text{kHz} } $$
1-5- Les ondes sonores et ultrasonores ne se propagent pas dans :
A- L'eau
B- L'acier
C- Le vide
Correction 1-5 :
Les ondes sonores sont mécaniques et nécessitent un milieu matériel. La bonne réponse est la C.
$$ \boxed{ \text{\textbf{C-} Le vide} } $$
2- Dans les bateaux de pêche sont fréquemment embarqués des sonars. Une onde émise puis reçue et un ordinateur permet de calculer la durée $\Delta t$ d'un aller-retour entre le sonar et un obstacle ou un banc de poissons.
2-1- La fréquence de l'onde émise par le sonar est de $50~\text{kHz}$. De quel type d'onde s'agit-il ?
Correction 2-1 :
La fréquence est $\nu = 50~\text{kHz} = 50\,000~\text{Hz}$. Puisque $\nu > 20\,000~\text{Hz}$, il s'agit d'une onde ultrasonore.
2-2- Lors d'essais de ce sonar dans une piscine d'eau de mer, on place un obstacle à une distance $d = 20~\text{m}$ de l'émetteur-récepteur. L'ordinateur calcule une durée $\Delta t$ d'aller-retour de $26{,}67~\text{ms}$. Calculer la vitesse $v$ de propagation de l'onde dans l'eau de mer.
Correction 2-2 :
L'onde effectue un aller-retour, la distance totale parcourue est donc $2d$.
La relation s'écrit :
$$ 2d = v \cdot \Delta t \implies v = \frac{2d}{\Delta t} $$
Application numérique avec $\Delta t = 26{,}67 \cdot 10^{-3}~\text{s}$ :
$$ v = \frac{2 \times 20}{26{,}67 \cdot 10^{-3}} = \frac{40}{0{,}02667} $$
$$ \boxed{ v \approx 1500~\text{m}\cdot\text{s}^{-1} } $$
2-3- Si ce sonar était utilisé dans l'air, quelle serait la durée $\Delta t$ d'un aller-retour entre le sonar et l'obstacle ?
Correction 2-3 :
Dans l'air, la vitesse du son est $v_{\text{air}} = 340~\text{m}\cdot\text{s}^{-1}$ (d'après la question 1-1).
La durée d'un aller-retour est donnée par :
$$ \Delta t' = \frac{2d}{v_{\text{air}}} $$
Application numérique :
$$ \Delta t' = \frac{2 \times 20}{340} = \frac{40}{340} \approx 0{,}1176~\text{s} $$
$$ \boxed{ \Delta t' \approx 117{,}6~\text{ms} } $$
2-4- Un bateau à l'arrêt qui utilise ce sonar détecte un banc de poissons dans la direction faisant un angle $\alpha = 30^\circ$ avec la surface de l'eau (Voir schéma ci-contre). La durée $\Delta t$ entre l'émission et la réception de l'onde délivrée par le sonar est de $6~\text{s}$.
2-4-1- Calculer la distance $d$ du bateau au banc de poissons.
Correction 2-4-1 :
L'onde ultrasonore effectue un aller-retour dans l'eau de mer ($v = 1500~\text{m}\cdot\text{s}^{-1}$). La distance $d$ séparant le bateau du banc de poissons est :
$$ 2d = v \cdot \Delta t \implies d = \frac{v \cdot \Delta t}{2} $$
Application numérique :
$$ d = \frac{1500 \times 6}{2} = 1500 \times 3 $$
$$ \boxed{ d = 4500~\text{m} } $$
2-4-2- Calculer la profondeur $h$ à laquelle se trouve le banc.
Correction 2-4-2 :
D'après le schéma, on a un triangle rectangle formé par la distance $d$ (l'hypoténuse), la profondeur $h$ (côté opposé à l'angle $\alpha$) et la surface de l'eau.
On utilise la relation trigonométrique :
$$ \sin(\alpha) = \frac{h}{d} \implies h = d \cdot \sin(\alpha) $$
Application numérique avec $\alpha = 30^\circ$ et $\sin(30^\circ) = 0{,}5$ :
$$ h = 4500 \times 0{,}5 $$
$$ \boxed{ h = 2250~\text{m} } $$
Exercice 3 : Chimie - Suivi Temporel (Niveau B)
L'acide chlorhydrique, $(\text{H}^+_{\text{(aq)}} + \text{Cl}^-_{\text{(aq)}})$, réagit sur le zinc, selon une réaction totale, en donnant du dihydrogène et des ions zinc (II) selon l'équation chimique :
$$ 2\text{H}^+_{\text{(aq)}} + \text{Zn}_{\text{(s)}} \rightarrow \text{H}_{2\text{(g)}} + \text{Zn}^{2+}_{\text{(aq)}} $$
À l'instant $t = 0$, on introduit une masse $m = 2{,}3~\text{g}$ de zinc en grenaille dans un ballon contenant un volume $V = 100~\text{mL}$ d'une solution d'acide chlorhydrique de concentration $C_A = 0{,}200~\text{mol}\cdot\text{L}^{-1}$. Les résultats de cette expérience permettent de tracer la courbe donnant la concentration en $\text{Zn}^{2+}_{\text{(aq)}}$ de la solution en fonction du temps. Donnée : la masse molaire du Zinc est égale à $65{,}4~\text{g}\cdot\text{mol}^{-1}$
1- Donner trois techniques qui nous permettent de suivre cette réaction chimique.
Correction 1 :
La réaction produit un gaz et consomme/produit des ions. On peut donc utiliser les techniques suivantes :
Mesure du volume ou de la pression du gaz dihydrogène $\text{H}_2$ dégagé.
Conductimétrie (car il y a variation de la nature et de la concentration des ions en solution).
pH-métrie (car les ions $\text{H}^+$ responsables de l'acidité sont consommés).
2- Donner les couples oxydant/réducteur intervenant dans cette transformation chimique.
Correction 2 :
Les couples mis en jeu sont : $\mathbf{\text{H}^+ / \text{H}_2}$ et $\mathbf{\text{Zn}^{2+} / \text{Zn}}$.
3- Dresser le tableau d'avancement puis déterminer le réactif limitant.
Si $\text{H}^+$ est limitant : $20 - 2x_{max} = 0 \implies x_{max} = 10~\text{mmol}$.
Si $\text{Zn}$ est limitant : $35{,}2 - x_{max} = 0 \implies x_{max} = 35{,}2~\text{mmol}$.
Puisque $10~\text{mmol} < 35{,}2~\text{mmol}$, le réactif limitant est l'acide chlorhydrique ($\text{H}^+$) et l'avancement maximal est :
$$ \boxed{ x_{max} = 10~\text{mmol} = 0{,}010~\text{mol} } $$
4- Quelle relation existe-t-il entre la concentration en ions zinc dans l'état final $[\text{Zn}^{2+}_{\text{(aq)}}]_f$ et $x(t)$ à l'instant $t$ ?
Correction 4 :
D'après le tableau d'avancement, à un instant $t$, la quantité de matière d'ions zinc formés est $n(\text{Zn}^{2+}) = x(t)$.
Le volume de la solution étant constant, on a :
$$ \boxed{ [\text{Zn}^{2+}]_{(t)} = \frac{x(t)}{V} } $$
Dans l'état final, $[\text{Zn}^{2+}]_f = \frac{x_{max}}{V} = \frac{10~\text{mmol}}{0{,}1~\text{L}} = 100~\text{mmol}\cdot\text{L}^{-1}$.
5- Déterminer la valeur du temps de demi-réaction pour la transformation considérée.
Correction 5 :
Le temps de demi-réaction $t_{1/2}$ est la durée pour laquelle l'avancement vaut la moitié de sa valeur finale : $x(t_{1/2}) = \frac{x_{max}}{2}$.
Par conséquent, $[\text{Zn}^{2+}]_{1/2} = \frac{[\text{Zn}^{2+}]_f}{2} = \frac{100}{2} = 50~\text{mmol}\cdot\text{L}^{-1}$.
Par projection de la valeur $50$ sur la courbe, on lit sur l'axe des abscisses :
$$ \boxed{ t_{1/2} = 4~\text{min} } $$
6- Quelle est la composition (en mole) du mélange réactionnel à la date $t = 10~\text{min}$ ?
Correction 6 :
Par lecture graphique, à $t = 10~\text{min}$, on a $[\text{Zn}^{2+}] \approx 80~\text{mmol}\cdot\text{L}^{-1}$.
L'avancement à cet instant est donc :
$$ x(10) = [\text{Zn}^{2+}] \times V = 80~\text{mmol}\cdot\text{L}^{-1} \times 0{,}1~\text{L} = 8~\text{mmol} = 0{,}008~\text{mol} $$
La composition du mélange est :
$n(\text{Zn}^{2+}) = x = 8~\text{mmol} = 0{,}008~\text{mol}$
$n(\text{H}_2) = x = 8~\text{mmol} = 0{,}008~\text{mol}$
7- Définir la vitesse volumique de la réaction ; l'exprimer en fonction de la dérivée de $[\text{Zn}^{2+}_{\text{(aq)}}]$ par rapport au temps. Graphiquement, à quoi correspond la vitesse de la réaction à un instant $t$ ?
Correction 7 :
La vitesse volumique est définie par :
$$ v = \frac{1}{V} \cdot \frac{dx}{dt} $$
Puisque $x(t) = [\text{Zn}^{2+}] \cdot V$, en dérivant on obtient $\frac{dx}{dt} = V \cdot \frac{d[\text{Zn}^{2+}]}{dt}$. En remplaçant dans l'expression de la vitesse :
$$ \boxed{ v = \frac{d[\text{Zn}^{2+}]}{dt} } $$
Graphiquement, la vitesse volumique à un instant $t$ correspond au **coefficient directeur (la pente) de la tangente** à la courbe $[\text{Zn}^{2+}] = f(t)$ à cet instant.
8- Calculer la vitesse volumique à l'instant $t = 0$ et à $t = 25~\text{min}$.
Correction 8 : À l'instant $t = 0$ :
On calcule le coefficient directeur de la tangente à l'origine en utilisant les points $(0~;~0)$ et $(5~;~80)$ :
$$ v(0) = \frac{\Delta [\text{Zn}^{2+}]}{\Delta t} = \frac{80 - 0}{5 - 0} = \frac{80}{5} $$
$$ \boxed{ v(0) = 16~\text{mmol}\cdot\text{L}^{-1}\cdot\text{min}^{-1} = 0{,}016~\text{mol}\cdot\text{L}^{-1}\cdot\text{min}^{-1} } $$ À l'instant $t = 25~\text{min}$ :
À $t = 25~\text{min}$, la courbe a atteint son palier (l'asymptote horizontale). La tangente est donc horizontale et son coefficient directeur est nul.
$$ \boxed{ v(25) = 0~\text{mol}\cdot\text{L}^{-1}\cdot\text{min}^{-1} } $$
9- Dessiner en bleu l'allure de la courbe si l'évolution s'effectuait dans un grand volume d'eau. Expliquer.
Correction 9 :
L'ajout d'un grand volume d'eau correspond à une **dilution**.
Côté Cinétique : La concentration initiale de l'acide diminue. Puisque la concentration est un facteur cinétique, la réaction sera **plus lente**. La nouvelle courbe sera donc en dessous de la courbe initiale et mettra plus de temps à se stabiliser.
Côté État Final : Le volume total de la solution est beaucoup plus grand. La quantité de matière maximale formée $x_{max}$ reste la même, mais la concentration finale $[\text{Zn}^{2+}]_f = \frac{x_{max}}{V_{nouveau}}$ sera **plus petite**. L'asymptote horizontale sera donc située plus bas.
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