En solution aqueuse, l'acide formique réagit complètement et lentement avec le dibrome selon l'équation suivante :
$$ \text{HCOOH}_{\text{(aq)}} + \text{Br}_{2\text{(aq)}} \rightarrow 2\text{Br}^-_{\text{(aq)}} + 2\text{H}^+_{\text{(aq)}} + \text{CO}_{2\text{(g)}} $$
La solution aqueuse de dibrome a une couleur rouge brun, alors que la solution d'acide bromhydrique ($\text{H}^+ + \text{Br}^-$) est incolore.
A l'instant $t = 0$, on prépare un mélange d'un volume $V_T = 1{,}00 \cdot 10^{-4}~\text{m}^3$ en mélangeant un volume de $V_1 = 5{,}00 \cdot 10^{-5}~\text{m}^3$ d'acide méthanoïque de concentration $C_1 = 30{,}0~\text{mol}\cdot\text{m}^{-3}$, avec un volume $V_2 = V_1$ de dibrome de concentration $C_2 = 24{,}0~\text{mol}\cdot\text{m}^{-3}$, on obtient la courbe représentant les variations de conductivité en fonction du temps $\sigma = f(t)$.
Données :
On exprime la conductivité du mélange réactionnel à l'instant $t$ par : $\sigma = \sigma_0 + \lambda_{\text{H}^+}[\text{H}^+] + \lambda_{\text{Br}^-}[\text{Br}^-]$.
$\sigma_0$ représente la conductivité à l'instant $t = 0$ tel que : $\sigma_0 = 0{,}063~\text{S}\cdot\text{m}^{-1}$.
Les conductivités molaires ioniques à $25^\circ\text{C}$ sont : $\lambda_{\text{Br}^-} = 7{,}81 \cdot 10^{-3}~\text{S}\cdot\text{m}^2\cdot\text{mol}^{-1} ~;~ \lambda_{\text{H}^+} = 35{,}0 \cdot 10^{-3}~\text{S}\cdot\text{m}^2\cdot\text{mol}^{-1}$.
1- Dresser le tableau d'avancement de cette réaction, puis déterminer le réactif limitant et l'avancement maximal.
2- Montrer qu'on a à un instant $t$ : $\sigma(t) = 0{,}063 + 856 \cdot x(t)$.
Correction 2 :
D'après l'expression de la conductivité :
$$ \sigma(t) = \sigma_0 + \lambda_{\text{H}^+}[\text{H}^+] + \lambda_{\text{Br}^-}[\text{Br}^-] $$
D'après le tableau d'avancement, les quantités de matière des ions produits sont $n(\text{H}^+) = 2x$ et $n(\text{Br}^-) = 2x$. Leurs concentrations s'écrivent :
$$ [\text{H}^+] = \frac{2x}{V_T} \quad \text{et} \quad [\text{Br}^-] = \frac{2x}{V_T} $$
En remplaçant dans l'expression de $\sigma(t)$ :
$$ \sigma(t) = \sigma_0 + \lambda_{\text{H}^+} \left( \frac{2x}{V_T} \right) + \lambda_{\text{Br}^-} \left( \frac{2x}{V_T} \right) $$
$$ \sigma(t) = \sigma_0 + \frac{2x}{V_T} (\lambda_{\text{H}^+} + \lambda_{\text{Br}^-}) $$
Application numérique de la constante de proportionnalité :
$$ K = \frac{2}{1{,}00 \cdot 10^{-4}} \times (35{,}0 \cdot 10^{-3} + 7{,}81 \cdot 10^{-3}) $$
$$ K = 2 \cdot 10^4 \times (42{,}81 \cdot 10^{-3}) = 856{,}2 \approx 856~\text{S}\cdot\text{m}^{-1}\cdot\text{mol}^{-1} $$
On retrouve bien l'expression :
$$ \boxed{ \sigma(t) = 0{,}063 + 856 \cdot x(t) } $$
3- Déduire l'expression de la vitesse volumique de la réaction en fonction de $V_T$ et la dérivée $\frac{d\sigma(t)}{dt}$.
Correction 3 :
Par définition, la vitesse volumique s'écrit :
$$ v = \frac{1}{V_T} \cdot \frac{dx}{dt} $$
D'après la relation de la question 2 : $x(t) = \frac{\sigma(t) - 0{,}063}{856}$.
En dérivant par rapport au temps :
$$ \frac{dx}{dt} = \frac{1}{856} \cdot \frac{d\sigma(t)}{dt} $$
En remplaçant dans l'expression de la vitesse volumique :
$$ \boxed{ v = \frac{1}{856 \cdot V_T} \cdot \frac{d\sigma(t)}{dt} } $$
4- Calculer la valeur de la vitesse volumique à l'instant $t_0 = 0$ et $t_1 = 6~\text{min}$ en ($\text{mol}\cdot\text{m}^{-3}\cdot\text{min}^{-1}$), expliquer le résultat obtenu.
Correction 4 :
La dérivée $\frac{d\sigma(t)}{dt}$ représente le coefficient directeur (la pente) de la tangente à la courbe. A l'instant $t_0 = 0$ :
En utilisant les points de la tangente donnés $(0; 0)$ et $(3; 0{,}7)$ :
$$ \frac{d\sigma}{dt}(0) = \frac{0{,}7 - 0}{3 - 0} \approx 0{,}233~\text{S}\cdot\text{m}^{-1}\cdot\text{min}^{-1} $$
$$ v(0) = \frac{1}{856 \times 1{,}00 \cdot 10^{-4}} \times 0{,}233 = \frac{1}{0{,}0856} \times 0{,}233 $$
$$ \boxed{ v(0) \approx 2{,}72~\text{mol}\cdot\text{m}^{-3}\cdot\text{min}^{-1} } $$ A l'instant $t_1 = 6~\text{min}$ :
En utilisant les points de la tangente donnés $(3; 0{,}6)$ et $(6; 0{,}8)$ :
$$ \frac{d\sigma}{dt}(6) = \frac{0{,}8 - 0{,}6}{6 - 3} = \frac{0{,}2}{3} \approx 0{,}067~\text{S}\cdot\text{m}^{-1}\cdot\text{min}^{-1} $$
$$ v(6) = \frac{1}{0{,}0856} \times 0{,}067 $$
$$ \boxed{ v(6) \approx 0{,}78~\text{mol}\cdot\text{m}^{-3}\cdot\text{min}^{-1} } $$ Explication :
On remarque que $v(6) < v(0)$. La vitesse volumique diminue au cours du temps. Ceci s'explique par la diminution de la concentration des réactifs (facteur cinétique), ce qui réduit la fréquence des chocs efficaces.
5- Comment augmenter la vitesse de cette réaction.
Correction 5 :
Pour augmenter la vitesse de cette réaction, on peut agir sur les facteurs cinétiques :
Augmenter la température du milieu réactionnel.
Augmenter la concentration initiale des réactifs.
Utiliser un catalyseur approprié.
Exercice 2 : Les ondes (Niveau B)
I - Détermination expérimentale de la vitesse de propagation du son
Pour déterminer la vitesse de propagation d'une onde sonore dans la salle de TP, l'enseignant a préparé le montage expérimental de la figure (1) qui comporte :
Deux microphones $\text{M}_1$ et $\text{M}_2$ séparés par une distance $d$ ; un oscilloscope, un haut-parleur, un GBF réglé à une fréquence $\text{N}$.
La figure (2) donne les oscillogrammes observés pour une distance $d_1 = 21~\text{cm}$. La sensibilité horizontale est $S_h = 1{,}0 \cdot 10^{-4}~\text{s}\cdot\text{div}^{-1}$.
1- Calculer la fréquence $N$ de l'onde émise.
Correction 1 :
D'après l'oscillogramme de la figure (2), on observe qu'une période complète $T$ s'étale sur 6 divisions horizontales.
$$ T = x \times S_h $$
$$ T = 6~\text{div} \times 1{,}0 \cdot 10^{-4}~\text{s}\cdot\text{div}^{-1} = 6{,}0 \cdot 10^{-4}~\text{s} $$
La fréquence $N$ est l'inverse de la période :
$$ N = \frac{1}{T} = \frac{1}{6{,}0 \cdot 10^{-4}} $$
$$ \boxed{ N \approx 1666{,}67~\text{Hz} } $$
2- On déplace horizontalement le microphone $\text{M}_2$ progressivement par rapport à $\text{M}_1$ jusqu'à ce que les deux courbes soient en opposition de phase pour la première fois. La distance entre les deux microphones est alors $d_2 = 31{,}25~\text{cm}$. a- Déterminer la valeur de la longueur d'onde $\lambda$ de l'onde sonore.
Correction 2-a :
D'après la figure (2), pour la distance $d_1 = 21~\text{cm}$, les deux signaux sont en phase.
En déplaçant $\text{M}_2$, les courbes se retrouvent en opposition de phase pour la première fois. Ce décalage correspond à une distance supplémentaire d'une demi-longueur d'onde ($\frac{\lambda}{2}$).
On a donc :
$$ d_2 - d_1 = \frac{\lambda}{2} $$
$$ \lambda = 2 \times (d_2 - d_1) $$
Application numérique :
$$ \lambda = 2 \times (31{,}25 - 21) = 2 \times 10{,}25 $$
$$ \boxed{ \lambda = 20{,}5~\text{cm} = 0{,}205~\text{m} } $$
b- Calculer la valeur de la vitesse de propagation $v$ du son dans l'air.
Correction 2-b :
La vitesse de propagation s'exprime par la relation :
$$ v = \frac{\lambda}{T} = \lambda \times N $$
En utilisant les valeurs calculées :
$$ v = \frac{0{,}205}{6{,}0 \cdot 10^{-4}} $$
$$ \boxed{ v \approx 341{,}67~\text{m/s} } $$
II - Application à l'échographie :
Avec l'échographie de datation il est désormais plus facile pour les équipes médicales de prévoir avec précision la date d'accouchement. Cet exercice se propose de déterminer l'épaisseur du fœtus d'une femme enceinte grâce à l'échographie.
Une sonde d'un appareil d'échographie, posée sur le ventre d'une femme enceinte, envoie, à un instant de date $t = 0$, des ondes ultrasonores vers le fœtus (figure 1 de la partie II). L'onde ultrasonore se propage dans le corps de la femme enceinte avec une célérité $v$, puis s'y réfléchit chaque fois qu'elle change de milieu de propagation. Les signaux réfléchis sont détectés par la sonde.
La figure 2 permet de connaître l'âge du fœtus par des semaines durant la première période de la grossesse. La figure 3 montre l'enregistrement des signaux reçus par la sonde à ultrasons lors de l'échographie du fœtus.
1- Déterminer la durée qui s'écoule entre la réception des échos issus de B et de C. Sachant que $1~\text{div}$ correspond à une durée de $50~\mu\text{s}$.
Correction II-1 :
D'après l'enregistrement (figure 3), on remarque que 1 division principale comporte 5 petites divisions. On en déduit la valeur d'une petite division :
$$ 1~\text{petite div} = \frac{50~\mu\text{s}}{5} = 10~\mu\text{s} $$
Les positions des échos sur l'axe des temps sont :
L'écho issu de A : $t_a = 0$
L'écho issu de B : $t_b = 5~\text{petites div}$
L'écho issu de C : $t_c = 9~\text{petites div}$
La durée $\Delta t$ qui s'écoule entre la réception des échos B et C correspond au décalage temporel :
$$ \Delta t = t_c - t_b = 9 - 5 = 4~\text{petites div} $$
$$ \Delta t = 4 \times 10~\mu\text{s} $$
$$ \boxed{ \Delta t = 40~\mu\text{s} } $$
2- Calculer l'épaisseur $d$ du fœtus, et déduire son âge. La célérité des ondes ultrasonores dans le corps humain est : $v = 1500~\text{m}\cdot\text{s}^{-1}$.
Correction II-2 : Calcul de l'épaisseur $d$ :
L'onde ultrasonore effectue un aller-retour à travers le fœtus (de B vers C, puis de C vers B). La distance totale parcourue dans le fœtus est donc $2d$.
$$ 2d = v \times \Delta t \implies d = \frac{v \times \Delta t}{2} $$
Application numérique avec $\Delta t = 40~\mu\text{s} = 40 \cdot 10^{-6}~\text{s}$ :
$$ d = \frac{1500 \times 40 \cdot 10^{-6}}{2} = \frac{0{,}06}{2} $$
$$ \boxed{ d = 0{,}03~\text{m} = 30~\text{mm} } $$ Déduction de l'âge du fœtus :
En utilisant la courbe d'étalonnage du développement fœtal (Âge vs Diamètre $d$) :
Pour une épaisseur $d = 30~\text{mm}$, on projette verticalement sur la courbe puis horizontalement sur l'axe des ordonnées.
$$ \boxed{ \text{Âge du fœtus} = 10~\text{semaines} } $$
Exercice 3 : Les ondes (Niveau B)
On provoque, à l'instant $t = 0$, une onde rectiligne sinusoïdale de fréquence $N = 50~\text{Hz}$ à la surface libre de l'eau contenue dans une cuve à ondes. La profondeur de l'eau dans la cuve est $h$.
Le schéma de la figure ci-contre représente la coupe verticale de la surface de l'eau à un instant $t_1$.
1-1-1- Définir la longueur d'onde pour une onde progressive sinusoïdale.
Correction 1-1-1 :
La longueur d'onde $\lambda$ est la distance parcourue par l'onde pendant une durée égale à sa période spatiale $T$. C'est également la plus petite distance séparant deux points du milieu de propagation qui vibrent en phase.
1-2- Déterminer graphiquement la longueur d'onde de cette onde rectiligne.
Correction 1-2 :
Graphiquement, la longueur d'onde correspond à la distance entre deux crêtes consécutives. D'après l'axe des abscisses $x(\text{cm})$ de la figure, cette distance est :
$$ \boxed{ \lambda = 1{,}5~\text{cm} = 1{,}5 \cdot 10^{-2}~\text{m} } $$
1-3- Calculer la célérité $v$ de cette onde.
Correction 1-3 :
La célérité $v$ d'une onde périodique est donnée par la relation :
$$ v = \lambda \times N $$
Application numérique :
$$ v = 1{,}5 \cdot 10^{-2}~\text{m} \times 50~\text{Hz} $$
$$ \boxed{ v = 0{,}75~\text{m/s} } $$
2- On peut considérer que la célérité des ondes à la surface de l'eau varie avec la profondeur $h$ de l'eau dans la cuve comme suit : $v = \sqrt{g \cdot h}$ avec $g$ intensité de la pesanteur.
On ajoute dans la cuve de l'eau de telle façon que la profondeur d'eau devienne $h_1 = 4 h$. Trouver la longueur d'onde $\lambda_1$ de l'onde.
Correction 2 :
La nouvelle célérité $v_1$ de l'onde pour la profondeur $h_1$ s'écrit :
$$ v_1 = \sqrt{g \cdot h_1} $$
On remplace $h_1$ par $4h$ :
$$ v_1 = \sqrt{g \cdot (4h)} = \sqrt{4} \cdot \sqrt{g \cdot h} = 2 \cdot \sqrt{g \cdot h} $$
Or, on sait que l'ancienne célérité est $v = \sqrt{g \cdot h}$. Donc on obtient la relation :
$$ v_1 = 2 \cdot v $$
La fréquence $N$ de l'onde est imposée par la source (le vibreur) et ne change pas lorsque le milieu change. On a donc :
$$ \lambda_1 \times N = 2 \cdot (\lambda \times N) $$
En simplifiant par $N$, on trouve la nouvelle longueur d'onde :
$$ \lambda_1 = 2 \cdot \lambda $$
Application numérique :
$$ \lambda_1 = 2 \times 1{,}5~\text{cm} $$
$$ \boxed{ \lambda_1 = 3{,}0~\text{cm} = 3{,}0 \cdot 10^{-2}~\text{m} } $$
Exercice 4 : Les ondes (Niveau B)
Dans cet exercice on se propose d'étudier le phénomène de diffraction. On a obtenu les deux clichés (1) et (2) de la figure 1, lors d'une expérience de diffraction, en laissant inchangé tous les éléments du dispositif et en utilisant deux lasers émettant deux lumières monochromatiques de longueurs d'ondes différentes $\lambda_1$ et $\lambda_2$.
1- Diffraction d'une onde monochromatique :
1.1- En exploitant les deux clichés, montrer que $\frac{\lambda_1}{\lambda_2} = \frac{14}{11}$ (0,5pt)
Correction 1.1 :
On sait que la largeur $L$ de la tache centrale de diffraction est proportionnelle à la longueur d'onde $\lambda$ (selon la relation $L = \frac{2 \lambda D}{a}$).
On a donc :
$$ \frac{\lambda_1}{\lambda_2} = \frac{L_1}{L_2} $$
Graphiquement, sur la figure 1 :
Pour le cliché 1, la tache centrale s'étend de $1{,}6~\text{cm}$ à $4{,}4~\text{cm}$. Sa largeur est $L_1 = 4{,}4 - 1{,}6 = 2{,}8~\text{cm}$.
Pour le cliché 2, la tache centrale s'étend de $8{,}9~\text{cm}$ à $11{,}1~\text{cm}$. Sa largeur est $L_2 = 11{,}1 - 8{,}9 = 2{,}2~\text{cm}$.
On effectue le rapport :
$$ \frac{\lambda_1}{\lambda_2} = \frac{2{,}8}{2{,}2} = \frac{28}{22} $$
$$ \boxed{ \frac{\lambda_1}{\lambda_2} = \frac{14}{11} } $$
1.2- La longueur d'onde de la lumière émise par l'un des deux lasers est égale à $720~\text{nm}$. Sachant que les deux lasers émettent dans le domaine visible, déterminer les valeurs de $\lambda_1$ et $\lambda_2$. (0,5pt)
Correction 1.2 :
D'après la relation précédente, $\lambda_1 = \frac{14}{11} \lambda_2$. Puisque $\frac{14}{11} \approx 1{,}27$, on déduit que $\lambda_1 > \lambda_2$.
Le domaine de la lumière visible est compris entre $400~\text{nm}$ et $800~\text{nm}$. Vérifions les deux cas possibles :
Cas 1 : Si $\lambda_1 = 720~\text{nm}$, alors $\lambda_2 = 720 \times \frac{11}{14} \approx 565{,}7~\text{nm}$. Cette valeur appartient bien au domaine visible.
Cas 2 : Si $\lambda_2 = 720~\text{nm}$, alors $\lambda_1 = 720 \times \frac{14}{11} \approx 916{,}4~\text{nm}$. Cette valeur est dans l'infrarouge (hors du domaine visible), donc ce cas est rejeté.
Par conséquent, les longueurs d'onde sont :
$$ \boxed{ \lambda_1 = 720~\text{nm} \quad \text{et} \quad \lambda_2 \approx 565{,}7~\text{nm} } $$
1.3- Choisir parmi les affirmations suivantes l'affirmation juste : (0,25pt)
B) Dans un milieu dispersif, la célérité d'une onde lumineuse ne varie pas avec la fréquence.
C) Une onde lumineuse monochromatique est caractérisée par sa fréquence.
D) la lumière se propagent seulement dans les milieux transparents.
E) Une onde lumineuse monochromatique est caractérisée par sa fréquence sont 400 mm et 800 mm.
Correction 1.3 :
L'affirmation juste est la C.
$$ \boxed{ \text{\textbf{C)} Une onde lumineuse monochromatique est caractérisée par sa fréquence.} } $$
2- Étude d'une couleur d'un Laser :
Un autre faisceau de lumière, parallèle monochromatique, de longueur d'onde dans le vide $\lambda$, produit par une source laser, arrive sur une fente verticale, de diamètre $a$. On place un écran à une distance $D = 2~\text{m}$ de cette fente; la distance $D$ est grande devant $a$.
2.1- En s'aidant des deux figures 2 et 3, identifier la couleur de laser utilisé. (0,75pt)
Correction 2.1 :
D'après le schéma, $r$ représente la demi-largeur de la tache centrale. Pour de petits angles, on a :
$$ \tan \theta \approx \theta = \frac{r}{D} $$
On sait également que $\theta = \frac{\lambda}{a}$. En égalisant les deux expressions :
$$ \frac{r}{D} = \frac{\lambda}{a} \implies r = (\lambda \cdot D) \cdot \frac{1}{a} $$
La courbe de la figure 2 représente les variations de $r$ en fonction de $\frac{1}{a}$. C'est une fonction linéaire d'équation $r = k \cdot \frac{1}{a}$, où le coefficient directeur est $k = \lambda \cdot D$.
Déterminons graphiquement $k$ en choisissant le point $(1~\text{mm}^{-1} ; 1{,}25~\text{mm})$ :
$$ k = \frac{1{,}25~\text{mm}}{1~\text{mm}^{-1}} = 1{,}25~\text{mm}^2 = 1{,}25 \cdot 10^{-6}~\text{m}^2 $$
On en déduit la longueur d'onde $\lambda$ (avec $D = 2~\text{m}$) :
$$ \lambda = \frac{k}{D} = \frac{1{,}25 \cdot 10^{-6}}{2} = 0{,}625 \cdot 10^{-6}~\text{m} $$
$$ \lambda = 625 \cdot 10^{-9}~\text{m} = 625~\text{nm} $$
D'après le tableau de la figure 3, la longueur d'onde $625~\text{nm}$ correspond à la couleur rouge.
$$ \boxed{ \text{La couleur du laser est \textbf{rouge}.} } $$
2.2- On éclaire avec cette source laser un prisme en verre d'indice de réfraction $n = 1{,}68$. Calculer la valeur de la longueur d'onde $\lambda_n$ de cette onde dans ce milieu transparent. (0,75pt)
Correction 2.2 :
L'indice de réfraction $n$ d'un milieu transparent est donné par le rapport de la longueur d'onde dans le vide $\lambda$ sur la longueur d'onde dans le milieu $\lambda_n$ :
$$ n = \frac{\lambda}{\lambda_n} \implies \lambda_n = \frac{\lambda}{n} $$
Application numérique :
$$ \lambda_n = \frac{625~\text{nm}}{1{,}68} $$
$$ \boxed{ \lambda_n \approx 372{,}02~\text{nm} } $$
2.3- Justifier comment varie la célérité de l'onde lumineuse à l'intérieur du prisme.
Correction 2.3 :
La célérité $v$ de l'onde lumineuse dans un milieu transparent est liée à la célérité $c$ dans le vide par la relation :
$$ v = \frac{c}{n} $$
Puisque l'indice de réfraction du verre est strictement supérieur à 1 ($n = 1{,}68 > 1$), on a logiquement $v < c$.
Par conséquent, la célérité de l'onde lumineuse diminue lorsqu'elle pénètre et se propage à l'intérieur du prisme en verre.
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