On étudie l'évolution au cours du temps de la réaction d'oxydation des ions iodure $\text{I}^-_{\text{(aq)}}$ par le peroxyde d'hydrogène $\text{H}_2\text{O}_2$ (eau oxygénée) en milieu acide. L'équation chimique qui symbolise la réaction associée à la transformation chimique étudiée est :
$$ \text{H}_2\text{O}_2\text{(aq)} + 2\text{I}^-\text{(aq)} + 2\text{H}^+\text{(aq)} \rightarrow 2\text{H}_2\text{O}\text{(l)} + \text{I}_{2\text{(aq)}} $$
À la date $t = 0$, on mélange un volume $V_1 = 100~\text{mL}$ d'une solution ($S_1$) d'eau oxygénée de concentration molaire $C_1$ avec un volume $V_2 = 100~\text{mL}$ d'une solution ($S_2$) d'iodure de potassium ($\text{K}^+ + \text{I}^-$) de concentration molaire $C_2$ et quelques gouttes d'acide sulfurique concentré. Le suivi temporel de cette transformation chimique a permis de tracer, sur le graphe ci-dessous, les courbes représentant les variations de la molarité des ions iodure $[\text{I}^-]$ et celle des molécules de diiode $[\text{I}_2]$ en fonction du temps.
1- Associer, en le justifiant, chacune des courbes (a) et (b) à la grandeur qu'elle représente.
Correction 1 :
À $t=0$, la concentration des produits est nulle, tandis que celle des réactifs est maximale.
La courbe (a) part de $0$ et augmente : elle représente donc un produit formé. Il s'agit de la concentration en diiode $\mathbf{[\text{I}_2]}$.
La courbe (b) part d'une valeur maximale ($0{,}05~\text{mol/L}$) et diminue : elle représente un réactif consommé. Il s'agit de la concentration en ions iodure $\mathbf{[\text{I}^-]}$.
2- L'ion iodure $\text{I}^-_{\text{(aq)}}$ est-il le réactif limitant ? Justifier la réponse.
Correction 2 :
D'après la courbe (b), la concentration finale en ions iodure se stabilise à une valeur non nulle :
$$ [\text{I}^-]_f = 0{,}01~\text{mol/L} > 0 $$
Puisqu'il reste des ions iodure à la fin de la réaction, ils n'ont pas été totalement consommés.
$$ \boxed{ \text{L'ion } \text{I}^- \text{ n'est pas le réactif limitant.} } $$
3- En exploitant le graphe, trouver la concentration initiale $[\text{I}^-]_0$ et finale $[\text{I}^-]_f$ des ions iodures dans le mélange.
Correction 3 :
Par lecture graphique directe sur la courbe (b) :
À $t = 0~\text{min}$, on lit l'ordonnée à l'origine :
$$ \boxed{ [\text{I}^-]_0 = 0{,}05~\text{mol/L} } $$
Lorsque la courbe présente une asymptote horizontale (état final), on lit :
$$ \boxed{ [\text{I}^-]_f = 0{,}01~\text{mol/L} } $$
4- Calculer la concentration initiale $[\text{H}_2\text{O}_2]_0$ de l'eau oxygénée dans le mélange.
Correction 4 :
On dresse le tableau d'avancement (mentalement ou au brouillon) pour le mélange de volume total $V_T = V_1 + V_2 = 200~\text{mL}$.
À l'état final, la quantité de diiode formé est $n_f(\text{I}_2) = x_f$. Donc :
$$ [\text{I}_2]_f = \frac{x_f}{V_T} $$
D'après le graphe (courbe a), $[\text{I}_2]_f = 0{,}02~\text{mol/L}$.
Puisque $\text{I}^-$ n'est pas limitant (et $\text{H}^+$ est en excès), c'est l'eau oxygénée $\text{H}_2\text{O}_2$ qui est le réactif limitant. Sa quantité de matière finale est nulle :
$$ n_f(\text{H}_2\text{O}_2) = n_0(\text{H}_2\text{O}_2) - x_f = 0 \implies n_0(\text{H}_2\text{O}_2) = x_f $$
En divisant par le volume total $V_T$ :
$$ \frac{n_0(\text{H}_2\text{O}_2)}{V_T} = \frac{x_f}{V_T} $$
$$ [\text{H}_2\text{O}_2]_0 = [\text{I}_2]_f $$
$$ \boxed{ [\text{H}_2\text{O}_2]_0 = 0{,}02~\text{mol/L} } $$
5- Calculer la valeur de la vitesse volumique de la réaction à l'instant $t = 0$. On utilisera la tangente tracée à cet instant qui passe par les points de coordonnées $(0~;~0{,}05)$ et $(15~;~0)$.
Correction 5 :
La vitesse volumique de la réaction est définie par :
$$ v = \frac{1}{V_T} \frac{dx}{dt} = \frac{d[\text{I}_2]}{dt} $$
On peut aussi l'exprimer en fonction du réactif $\text{I}^-$. D'après l'équation, $n(\text{I}^-) = n_0(\text{I}^-) - 2x$. En divisant par $V_T$ et en dérivant par rapport au temps, on trouve :
$$ v = -\frac{1}{2} \frac{d[\text{I}^-]}{dt} $$
Le terme $\frac{d[\text{I}^-]}{dt}$ à $t=0$ correspond au coefficient directeur (la pente) de la tangente à la courbe (b) à l'origine.
$$ a = \frac{\Delta [\text{I}^-]}{\Delta t} = \frac{0 - 0{,}05}{15 - 0} = -\frac{0{,}05}{15} \approx -3{,}33 \cdot 10^{-3}~\text{mol}\cdot\text{L}^{-1}\cdot\text{min}^{-1} $$
On en déduit la vitesse :
$$ v(0) = -\frac{1}{2} \times \left( -\frac{0{,}05}{15} \right) = \frac{0{,}05}{30} $$
$$ \boxed{ v(0) \approx 1{,}67 \cdot 10^{-3}~\text{mol}\cdot\text{L}^{-1}\cdot\text{min}^{-1} } $$
6- Comment varie la vitesse de la réaction au cours du temps ? Interpréter cette variation.
Correction 6 :
Au cours du temps, les tangentes aux courbes sont de moins en moins inclinées (leurs coefficients directeurs tendent vers 0). Donc, la vitesse volumique de la réaction diminue. Interprétation : Cette diminution est due à la baisse de la concentration des réactifs ($\text{H}_2\text{O}_2$ et $\text{I}^-$) au fur et à mesure qu'ils sont consommés. La concentration des réactifs étant un facteur cinétique, la probabilité des chocs efficaces diminue.
7- Quelle est la valeur du temps de demi-réaction $t_{1/2}$ ?
Correction 7 :
Le temps de demi-réaction $t_{1/2}$ est la durée au bout de laquelle l'avancement atteint la moitié de sa valeur finale ($x(t_{1/2}) = \frac{x_f}{2}$).
En utilisant la concentration en ions iodure :
$$ [\text{I}^-]_{1/2} = \frac{[\text{I}^-]_0 + [\text{I}^-]_f}{2} = \frac{0{,}05 + 0{,}01}{2} = 0{,}03~\text{mol/L} $$
Par projection de la valeur $0{,}03~\text{mol/L}$ sur la courbe (b), on lit sur l'axe des abscisses :
$$ \boxed{ t_{1/2} = 9~\text{min} } $$
(Remarque : on trouverait le même résultat en cherchant l'abscisse correspondant à $[\text{I}_2]_{1/2} = \frac{0{,}02}{2} = 0{,}01~\text{mol/L}$ sur la courbe a).
8- Dire, en le justifiant, comment varie $t_{1/2}$ si :
8.1- On abaisse la température du milieu réactionnel ?
Correction 8.1 :
La température est un facteur cinétique. Si on abaisse la température, la réaction devient plus lente. L'état intermédiaire sera atteint moins rapidement.
Donc, la valeur du temps de demi-réaction $t_{1/2}$ augmente.
8.2- L'évolution s'effectuait dans un grand volume d'eau.
Correction 8.2 :
L'ajout d'un grand volume d'eau (dilution) diminue la concentration initiale des réactifs. La concentration est un facteur cinétique. Une diminution des concentrations ralentit la réaction.
Donc, la valeur du temps de demi-réaction $t_{1/2}$ augmente.
Exercice 2 : Les ondes (Niveau B)
1- On réalise une expérience en utilisant un laser, une fente de largeur réglable et un écran blanc. Le dispositif est représenté ci-dessous (figure 1) : Les mesures de la largeur de la fente $a$, de la distance de la fente à l'écran $D$ et de la largeur de la zone lumineuse centrale $L$ conduisent aux résultats suivants : $a = 0{,}200~\text{mm} ; D = 2{,}00~\text{m} ; L = 12{,}6~\text{mm}$.
1.1. Quel est le nom du phénomène observé ?
Correction 1.1 :
Il s'agit du phénomène de diffraction de la lumière.
1.2. L'angle $\theta$ étant petit et exprimé en radian, on peut utiliser l'approximation $\tan \theta \approx \theta~(\text{rad})$. Calculer l'angle $\theta$ en radian.
Correction 1.2 :
D'après la figure 1, dans le triangle rectangle formé par la fente, l'écran et le demi-écart angulaire, on a :
$$ \tan \theta = \frac{\frac{L}{2}}{D} = \frac{L}{2D} $$
Avec l'approximation des petits angles $\tan \theta \approx \theta$ :
$$ \theta = \frac{L}{2D} $$
Application numérique (en convertissant $L$ en mètres) :
$$ \theta = \frac{12{,}6 \cdot 10^{-3}}{2 \times 2{,}00} = \frac{12{,}6 \cdot 10^{-3}}{4} $$
$$ \boxed{ \theta = 3{,}15 \cdot 10^{-3}~\text{rad} } $$
1.3. Quelle est la relation liant l'angle $\theta$, la longueur d'onde $\lambda$ de la lumière et la largeur de la fente ?
Correction 1.3 :
L'écart angulaire $\theta$ est donné par la relation :
$$ \boxed{ \theta = \frac{\lambda}{a} } $$
1.4. Calculer la longueur d'onde $\lambda$.
Correction 1.4 :
À partir de la relation précédente, on a :
$$ \lambda = \theta \times a $$
Application numérique :
$$ \lambda = 3{,}15 \cdot 10^{-3} \times 0{,}200 \cdot 10^{-3} $$
$$ \boxed{ \lambda = 6{,}30 \cdot 10^{-7}~\text{m} = 630~\text{nm} } $$
1.5. Quelle est la relation entre $\lambda$, $c$ (célérité de la lumière dans le vide) et $\nu$ (fréquence de la radiation lumineuse) ? Indiquer leurs unités dans le système international.
Correction 1.5 :
La relation est :
$$ \boxed{ \lambda = \frac{c}{\nu} } $$
Unités dans le S.I. :
$\lambda$ : longueur d'onde en mètre ($\text{m}$)
$c$ : célérité en mètre par seconde ($\text{m}\cdot\text{s}^{-1}$)
$\nu$ : fréquence en hertz ($\text{Hz}$ ou $\text{s}^{-1}$)
1.6. Exprimer la relation entre $L$ et $\lambda$.
Correction 1.6 :
En égalisant les deux expressions de $\theta$ ($\theta = \frac{\lambda}{a}$ et $\theta = \frac{L}{2D}$), on obtient :
$$ \frac{L}{2D} = \frac{\lambda}{a} $$
Soit l'expression de la largeur $L$ :
$$ \boxed{ L = \frac{2 \lambda D}{a} } $$
1.7. Quelles sont approximativement les longueurs d'onde dans le vide des radiations bleues et rouges ?
Correction 1.7 :
Le spectre de la lumière visible s'étend d'environ $400~\text{nm}$ à $800~\text{nm}$.
Lumière bleue au lieu de rouge : On sait que $\lambda_{\text{bleu}} < \lambda_{\text{rouge}}$. La largeur $L$ étant proportionnelle à $\lambda$, alors $L$ diminue.
Diminution de $a$ : La largeur $L$ est inversement proportionnelle à $a$. Si $a$ diminue, alors $L$ augmente.
9- On envoie sur un prisme de verre un rayon de lumière blanche, celui-ci traverse le dioptre air-verre sans être réfracté mais il sera réfracté sur le dioptre verre-air.
On considère la radiation rouge et la radiation bleue contenues dans ce rayon de lumière blanche. On connaît les indices de réfraction du verre pour ces deux radiations : $n_{(\text{Rouge})} = 1{,}5 ~;~ n_{(\text{bleue})} = 1{,}6$.
9.1. Pourquoi le rayon ne se réfracte pas lors de son passage au niveau du dioptre air-verre ?
Correction 9.1 :
Le rayon lumineux arrive perpendiculairement à la face d'entrée du prisme (la face verticale). L'angle d'incidence par rapport à la normale est donc nul ($i_1 = 0^\circ$).
D'après la deuxième loi de Descartes pour la réfraction : $n_{\text{air}} \sin(i_1) = n_{\text{verre}} \sin(r_1)$.
Si $i_1 = 0$, alors $\sin(r_1) = 0$, ce qui implique $r_1 = 0^\circ$. Le rayon n'est donc pas dévié.
9.2. Construisez, sur la figure jointe, les rayons rouge et bleu à la sortie du prisme. Vous justifierez vos constructions par les calculs adéquats.
Correction 9.2 :
En observant le rapporteur centré sur le point d'incidence de la face de sortie (face inclinée), on lit que l'angle d'incidence à l'intérieur du prisme est $i = 30^\circ$.
Appliquons la loi de Descartes à la face de sortie : $n_{\text{verre}} \sin(i) = n_{\text{air}} \sin(r)$ avec $n_{\text{air}} = 1$.
$$ \sin(r) = n_{\text{verre}} \cdot \sin(30^\circ) = n_{\text{verre}} \times 0{,}5 $$
Pour la radiation rouge :
$$ \sin(r_R) = 1{,}5 \times 0{,}5 = 0{,}75 $$
$$ \boxed{ r_R = \arcsin(0{,}75) \approx 48{,}6^\circ } $$
Pour la radiation bleue :
$$ \sin(r_B) = 1{,}6 \times 0{,}5 = 0{,}80 $$
$$ \boxed{ r_B = \arcsin(0{,}80) \approx 53{,}1^\circ } $$
(Sur la figure, il faut tracer le rayon rouge dévié d'un angle d'environ $48{,}6^\circ$ par rapport à la normale (le zéro du rapporteur), et le rayon bleu dévié d'environ $53{,}1^\circ$, c'est-à-dire plus dévié vers le bas).
9.3. Calculer l'angle que fait le rayon bleu avec le rayon rouge à la sortie du prisme.
Correction 9.3 :
L'angle entre les deux rayons à la sortie (appelé écart angulaire ou dispersion) est la différence entre leurs angles de réfraction :
$$ \Delta r = r_B - r_R $$
Application numérique :
$$ \Delta r = 53{,}1^\circ - 48{,}6^\circ $$
$$ \boxed{ \Delta r = 4{,}5^\circ } $$
Exercice 3 : Les ondes (Niveau B)
Au cours d'une séance de travaux pratiques, un élève réalise le montage de la figure 1. Il dispose du matériel suivant :
un émetteur d'ultrasons $E$ et son alimentation électrique, sa plage d'émission est $[20~\text{kHz} ; 60~\text{kHz}]$.
deux récepteurs d'ultrasons $R_1$ et $R_2$ ;
un système d'acquisition relié à un ordinateur muni d'un logiciel de traitement de données ;
une règle graduée.
L'émetteur $E$ génère une onde ultrasonore progressive sinusoïdale qui se propage dans l'air jusqu'aux récepteurs $R_1$ et $R_2$. L'émetteur et les deux récepteurs sont alignés. Le récepteur $R_1$ est placé au zéro de la règle graduée. Les signaux captés par les récepteurs $R_1$ et $R_2$ sont visualisés en même temps grâce à un logiciel de traitement de données. Lorsque le récepteur $R_2$ est situé à $d = 2{,}8~\text{cm}$ du récepteur $R_1$, les signaux reçus par les deux récepteurs sont en phase (Fig. 2).
1- Indiquer quelle courbe représente le signal reçu par $R_2$. (justifier)
Correction 1 :
Au cours de sa propagation, l'onde subit un amortissement (son amplitude diminue avec la distance). Le récepteur $R_2$ étant plus éloigné de l'émetteur que le récepteur $R_1$, l'amplitude du signal qu'il capte est plus faible.
Par conséquent, la courbe représentant le signal reçu par $R_2$ est celle qui possède **la plus petite amplitude** (courbe bleue sur la figure 2).
2- Déterminer grâce à l'enregistrement la période $T$ des ultrasons émis.
Correction 2 :
Graphiquement (figure 2), la période $T$ correspond à la durée entre deux crêtes successives. On lit que le premier pic est à $15~\mu\text{s}$ et le deuxième pic à $45~\mu\text{s}$.
$$ T = 45 - 15 = 30~\mu\text{s} $$
$$ \boxed{ T = 30 \cdot 10^{-6}~\text{s} } $$
3- Exprimer la fréquence des ultrasons et la calculer. La valeur obtenue est-elle cohérente ?
Correction 3 :
La fréquence $f$ est l'inverse de la période :
$$ f = \frac{1}{T} $$
Application numérique :
$$ f = \frac{1}{30 \cdot 10^{-6}} \approx 33\,333~\text{Hz} $$
$$ \boxed{ f \approx 33{,}3~\text{kHz} } $$
Cohérence : Cette valeur est cohérente car elle appartient bien à la plage d'émission du générateur $[20~\text{kHz} ; 60~\text{kHz}]$ et elle est supérieure à $20~\text{kHz}$, ce qui correspond bien au domaine des ultrasons.
4- On éloigne lentement $R_2$ le long de la règle (Fig. 3) : on constate que le signal reçu par $R_2$ se décale vers la droite. On continue à éloigner $R_2$ jusqu'à ce que les signaux reçus par $R_1$ et $R_2$ soient à nouveau en phase. Soit $R'_2$ la nouvelle position occupée par $R_2$. La distance $d'$ séparant désormais $R_1$ de $R'_2$ est $d' = 4{,}2~\text{cm}$.
4-1- Définir en une phrase la longueur d'onde $\lambda$.
Correction 4-1 :
La longueur d'onde $\lambda$ est la distance parcourue par l'onde pendant une durée égale à sa période temporelle $T$. (C'est aussi la plus petite distance séparant deux points du milieu vibrant en phase).
4-2- Donner la valeur de la longueur d'onde de l'onde ultrasonore. (à justifier)
Correction 4-2 :
Les signaux étaient en phase à la distance $d$. On a éloigné $R_2$ jusqu'à ce qu'ils soient à nouveau en phase pour la première fois. La distance parcourue entre ces deux positions correspond exactement à une longueur d'onde $\lambda$.
$$ \lambda = d' - d $$
$$ \lambda = 4{,}2~\text{cm} - 2{,}8~\text{cm} $$
$$ \boxed{ \lambda = 1{,}4~\text{cm} = 1{,}4 \cdot 10^{-2}~\text{m} } $$
4-3- Exprimer le retard $\tau$ du signal reçu par $R'_2$ par rapport à celui reçu par $R_2$.
Correction 4-3 :
Le retard $\tau$ correspond au temps mis par l'onde pour parcourir la distance séparant l'ancienne position $R_2$ et la nouvelle position $R'_2$.
Sachant que cette distance est exactement $\lambda$, la durée correspondante est exactement une période $T$.
$$ \tau = \frac{d' - d}{v} = \frac{\lambda}{v} = T $$
$$ \boxed{ \tau = 30~\mu\text{s} } $$
4-4- Exprimer puis calculer la célérité des ultrasons dans l'air.
Correction 4-4 :
La célérité $v$ s'exprime par la relation :
$$ v = \frac{\lambda}{T} $$
Application numérique :
$$ v = \frac{1{,}4 \cdot 10^{-2}~\text{m}}{30 \cdot 10^{-6}~\text{s}} $$
$$ \boxed{ v \approx 466{,}7~\text{m/s} } $$
4-5- Sans faire de calculs, indiquer quel est le retard de $R_2$ par rapport à $R_1$. (justifier).
Correction 4-5 :
La distance initiale séparant $R_1$ et $R_2$ est $d = 2{,}8~\text{cm}$.
On remarque que $d = 2 \times 1{,}4~\text{cm}$, soit $d = 2\lambda$.
Puisque la distance est un multiple entier de la longueur d'onde, le retard $\tau_{12}$ est le même multiple entier de la période $T$ :
$$ \tau_{12} = 2T $$
$$ \boxed{ \tau_{12} = 60~\mu\text{s} } $$
5- Cette expérience aurait-elle été facile à mettre en œuvre avec un haut-parleur émettant un signal de $80~\text{Hz}$ et deux micros ? (réponse à justifier par un calcul)
Correction 5 :
Calculons la longueur d'onde $\lambda'$ pour un tel signal sonore de fréquence $f' = 80~\text{Hz}$ (en utilisant la célérité usuelle du son dans l'air $v \approx 340~\text{m/s}$) :
$$ \lambda' = \frac{v}{f'} = \frac{340}{80} = 4{,}25~\text{m} $$
(Même en utilisant la célérité calculée précédemment de $466{,}7~\text{m/s}$, on obtiendrait $\lambda' \approx 5{,}8~\text{m}$). Conclusion : Cette longueur d'onde est beaucoup trop grande. Pour observer un décalage de phase d'une longueur d'onde, il faudrait déplacer le micro sur plus de 4 mètres. Une règle graduée standard de paillasse ne dépasse pas 1 à 2 mètres, l'expérience ne serait donc pas facile à mettre en œuvre dans une salle de TP.
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